小本科对非欧几里得几何学脱敏的故事

高中时代

从小喜欢天文和数学,但高中时,有两个事件,促使后来读了挨踢专业。

  1. 穷。所有人都说读天文学很烧钱,穷人家是负担不起的,没学到家就出来又不好就业。

高一,有电脑课,但觉得电脑没人脑聪明,没什么兴趣。后来意外看到 Bill Gates 的事迹,明白了挨踢行业是很赚钱的,而且这个行业不怎么需要讲人情世故,也是自己可能擅长的领域。

  1. 被非欧几何打击了。和数学课代表交好,经常讨论数学,都喜欢自学超前的知识。其中讨论过的一个最大的未解之谜就是:

三角形内角和可以大于或小于 180 度。

当时只学到一些皮毛概念,仅知道“黎曼几何学是大于,罗巴切夫斯基几何学是小于”,但已经大受打击……

大学时代

大部分时间都用于实践编程技术,原来比较擅长的数学和英语都被牺牲,不怎么认真去学。

但有追究过非欧几何学到底怎么来的:公理体系中采用了不同的平行定理。

  • 在平面内,从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行;

  • 在平面内,从直线外一点,有且只有一条直线和这条直线平行;

  • 在平面内,从直线外一点,不能做直线和已知直线平行。

当时没有去深入理解,看了一个例子说球体表面的两条直线都会相交,结果就对非欧几何过敏了……脑子里不断产生抵抗,球面不是平的,球面的直线特么是弯的,这让直男怎么接受?

然后就把非欧几何学当成是外星的哲学了,觉得不是个有用的理论,完全忽视了自以为能理解的广义相对论是和黎曼几何学有关的!

突然脱敏

最近补了点数学基础,顺便想把这个问题解决掉。纠正过程如下:

  • 球面上的两点之间,直线最短,嗯,在球体上看,最短的直线是穿过球体内部的,那个才是直的。

不对,我们讨论的是二维的面,你怎么扯到三维的球体,还内部?

  • 球面上的直线是指什么?用地球来比方,赤道线和纬度线是不是都算?

赤道线是,但其他的纬度线不是,其它纬度线上的两点之间最短的线,并不在纬度线上,纬度线绕的更远,最短的还是这两点加上球心切面上两点之间那段圆弧(劣弧)。

  • 直线只是定义一样,但在两种不同体系的面上样子是不一样的?

是的,“两点之间,直线段最短”球面上的直线,在三维世界看确实是弯的,但在二维世界,它是直的……是直的……是直的。在四维空间看我们的世界,也许也是弯的,但反正我们在三维空间看,是直的!虽然我们能找到其实是弯的证据。

脱敏是很重要的能力

这其实不难理解,但长期自我抑制,不去解决它,再好的理解能力也没用武之地。

有些故事,要先相信,才有续集。

你是直的,还是弯的?