鸡兔同笼问题的程序解法

定义

“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题,其内容是:

今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉兔各几何。

数学描述

设鸡有 x 只,兔有 y 只,则:

1
2
x + y = 35
2x + 4y = 94

解这个方程组得 x = 23, y = 12

用矩阵表示:

1
2
[1, 1]  *  [x]  =  [35]
[2, 4] [y] [94]

Python 代码

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6
>>> import numpy as np
>>> a = np.mat([[1, 1], [2, 4]])
>>> b = np.mat([[35], [94]])
>>> a.I * b
matrix([[23.],
[12.]])

再来一题三元版本:

有蜘蛛,蜻蜓,蝉三种动物共 18 只,共有腿 118 条,翅膀 20 对,三种动物各几只?

蜘蛛 8 条腿;蜻蜓 6 条腿, 2 对翅膀;蝉 6 条腿,1 对翅膀。

1
2
3
[1, 1, 1]     [x]     [18]
[8, 6, 6] * [y] = [118]
[0, 2, 1] [z] [20]

代码:

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>>> import numpy as np
>>> a = np.mat([[1, 1, 1], [8, 6, 6], [0, 2, 1]])
>>> b = np.mat([[18], [118], [20]])
>>> a.I * b
matrix([[5.],
[7.],
[6.]])

留一法交叉验证

题目

假设有如下一组输入并输出一个实数的数据,则线性回归(Y = bX + c)的留一法交叉验证均方差为?

X Y
0 2
2 2
3 1

A. 10/27
B. 20/27
C. 50/27
D. 49/27

学习

交叉验证(Cross Validation)

也称作循环估计(Rotation Estimation),是一种统计学上将数据样本切割成较小子集的实用方法。

在模式识别(Pattern Recognition)和机器学习(Machine Learning)的相关研究中,经常会将整个数据集合分成两个部分,分别是训练集合和测试集合。在一个 n 个元素的集合,选择 r 个元素做训练集(非空集,r > 0),剩下的 n - r 个做测试集,这可以用“组合”计算有多少种可能。把每种组合都做过一遍就是交叉验证。

组合(Combination)

nCr 表示由 n 个不同元素中,每次取出 r 个不重复之元素的组合,用符号 C n(下标)r(上标)表示。

留一法交叉验证(Leave-one-out Cross Validation)

只留一个元素做测试集,即:r = n - 1。

均方差

标准差(Standard Deviation),别名:标准偏差、实验标准差、均方差,是离均差平方的算术平均数的平方根,用 σ 表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据,标准差未必相同。

解题

三个元素的集合留一,一共有 3C1 = 3 种组合,画 3 个点:

  • A = (0, 2)
  • B = (2, 2)
  • C = (3, 1)
  1. 连接 A 和 B,得到直线 Y = 2,C 点的偏差 = 2 - 1 = 1
  2. 连接 A 和 C,得到直线 Y = (6 - X) / 3,B 点的偏差 = 4/3 - 2 = -2/3
  3. 连接 B 和 C,得到直线 Y = 4 - X,A 点的偏差 = 4 - 2 = 2

所以方差为:(1^2 + (2/3)^2 + 2^2) / 3 = (9 + 4 + 4 * 9) / 27 = 49/27

题目说的是“均方差”,根据百度百科标准差词条的说法,“均方差”==标准差,要开平方……所以题目中的答案没有一个是对的。出题者想让我们选 D,稣偏要选 F,你懂的 ck……