定义

“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：

今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。

数学描述

设鸡有 x 只，兔有 y 只，则：

1
2

x + y = 35
2x + 4y = 94

解这个方程组得 x = 23, y = 12。

用矩阵表示：

1
2

[1, 1]  *  [x]  =  [35]
[2, 4]     [y]     [94]

Python 代码

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>>> import numpy as np
>>> a = np.mat([[1, 1], [2, 4]])
>>> b = np.mat([[35], [94]])
>>> a.I * b
matrix([[23.],
        [12.]])

再来一题三元版本：

有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对，三种动物各几只？

蜘蛛 8 条腿；蜻蜓 6 条腿， 2 对翅膀；蝉 6 条腿，1 对翅膀。

1
2
3

[1, 1, 1]     [x]     [18]
[8, 6, 6]  *  [y]  =  [118]
[0, 2, 1]     [z]     [20]

代码：

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>>> import numpy as np
>>> a = np.mat([[1, 1, 1], [8, 6, 6], [0, 2, 1]])
>>> b = np.mat([[18], [118], [20]])
>>> a.I * b
matrix([[5.],
        [7.],
        [6.]])

题目

假设有如下一组输入并输出一个实数的数据，则线性回归（Y = bX + c）的留一法交叉验证均方差为？

A. 10/27
B. 20/27
C. 50/27
D. 49/27

学习

交叉验证（Cross Validation）

也称作循环估计（Rotation Estimation），是一种统计学上将数据样本切割成较小子集的实用方法。

在模式识别（Pattern Recognition）和机器学习（Machine Learning）的相关研究中，经常会将整个数据集合分成两个部分，分别是训练集合和测试集合。在一个 n 个元素的集合，选择 r 个元素做训练集（非空集，r > 0），剩下的 n - r 个做测试集，这可以用“组合”计算有多少种可能。把每种组合都做过一遍就是交叉验证。

组合（Combination）

nCr 表示由 n 个不同元素中，每次取出 r 个不重复之元素的组合，用符号 C n（下标）r（上标）表示。

留一法交叉验证（Leave-one-out Cross Validation）

只留一个元素做测试集，即：r = n - 1。

均方差

标准差（Standard Deviation），别名：标准偏差、实验标准差、均方差，是离均差平方的算术平均数的平方根，用 σ 表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。

解题

三个元素的集合留一，一共有 3C1 = 3 种组合，画 3 个点：

• A = (0, 2)
• B = (2, 2)
• C = (3, 1)

1. 连接 A 和 B，得到直线 Y = 2，C 点的偏差 = 2 - 1 = 1
2. 连接 A 和 C，得到直线 Y = (6 - X) / 3，B 点的偏差 = 4/3 - 2 = -2/3
3. 连接 B 和 C，得到直线 Y = 4 - X，A 点的偏差 = 4 - 2 = 2

所以方差为：(1^2 + (2/3)^2 + 2^2) / 3 = (9 + 4 + 4 * 9) / 27 = 49/27

题目说的是“均方差”，根据百度百科标准差词条的说法，“均方差”==标准差，要开平方……所以题目中的答案没有一个是对的。出题者想让我们选 D，稣偏要选 F，你懂的 ck……